BJWC2011 元素

题目:

   相传,在远古时期,位于西方大陆的 Magic Land 上,人们已经掌握了用魔法矿石炼制法杖的技术。那时人们就认识到,一个法杖的法力取决于使用的矿石。
   一般地,矿石越多则法力越强,但物极必反:有时,人们为了获取更强的法力而使用了很多矿石,却在炼制过程中发现魔法矿石全部消失了,从而无法炼制出法杖,这个现象被称为“魔法抵消” 。特别地,如果在炼制过程中使用超过一块同一种矿石,那么一定会发生“魔法抵消”。后来,随着人们认知水平的提高,这个现象得到了很好的解释。经过了大量的实验后,著名法师 Dmitri 发现:如果给现在发现的每一种矿石进行合理的编号(编号为正整数,称为该矿石的元素序号),那么,一个矿石组合会产生“魔法抵消”当且仅当存在一个非空子集,那些矿石的元素序号按位异或起来为零。
   例如,使用两个同样的矿石必将发生“魔法抵消”,因为这两种矿石的元素序号相同,异或起来为零。并且人们有了测定魔力的有效途径,已经知道了:合成出来的法杖的魔力等于每一种矿石的法力之和。人们已经测定了现今发现的所有矿石的法力值,并且通过实验推算出每一种矿石的元素序号。
   现在,给定你以上的矿石信息,请你来计算一下当时可以炼制出的法杖最多有多大的魔力。

思路:

   看到子集异或,不难想到线性基。题目要求所有的矿石线性无关,这和线性基中元素的性质一致。所以可以把矿石从大到小插入线性基,如果插入成功就说明这个矿石在最优解中。
   正确性:如果 无法插入线性基 中,那么一定要取出一个元素 后再插入才能得到线性基 。从线性相关的角度会发现 ,所以应该保留价值更大的
   ps:看到网上线性基有两种写法,其中一种会要求如果线性基中存在 ,那么其他元素的第 位必须为 。暂时没有发现这两者的区别。

代码:

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, a, b) for(int i(a), i##_END_(b); i <= i##_END_; i++)
#define drep(i, a, b) for(int i(a), i##_END_(b); i >= i##_END_; i--)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const int N = 70;

struct Data {
    int val;
    ull num;
    bool operator< (const Data d) const {
        return val > d.val;
    }
} d[1005];

ull p[N];
bool insert(ull x) {
    drep(i, 63, 0) {
        if(~x >> i & 1) continue;
        if(p[i]) x ^= p[i];
        else {
            rep(j, 0, i - 1) if(x >> j & 1) x ^= p[j];
            rep(j, i + 1, 63) if(p[j] >> i & 1) p[j] ^= x;
            p[i] = x;
            return true;
        }
    }
    return false;
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    rep(i, 1, n) scanf("%llu%d", &d[i].num, &d[i].val);
    sort(d + 1, d + 1 + n);
    int ans = 0;
    rep(i, 1, n) 
        if(insert(d[i].num))
            ans += d[i].val;
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}